O Problema dos três marinheiros

“... E o príncipe Cluzir Schá narrou o seguinte: - Um navio que voltava de Serendibe, trazendo grande

partida de especiarias, foi assaltado por violenta tempestade. A embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia.

O comandante, querendo recompensar os denodados marujos, deu-lhes certo número de catis. Esse número,superior a duzentos, não chegava a trezentos. As moedas foram colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros.

Aconteceu, porém, que, durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou:

“Será melhor que eu tire a minha parte. Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos”.

E, sem nada dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro, dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e que sobrava um catil. “Por causa desta mísera moedinha é capaz de haver amanhã discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora.” E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-se, cauteloso. Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. Horas depois, o segundo marinheiro teve a mesma idéia. Foi à arca em que se depositara o prêmio coletivo e dividiu-o em três partes iguais.

Sobrava uma moeda. Ao marujo, para evitar futuras dúvidas, veio à lembrança atirá-la ao mar. E dali

voltou levando consigo a parte a que se julgava com direito. O terceiro marinheiro, ignorando, por

completo, a antecipação dos colegas, teve o mesmo alvitre. Levantou-se de madrugada e foi, pé ante pé, à caixa dos catis. Dividiu as moedas que lá encontrou em três partes iguais; a divisão não foi exata. Sobrou um catil. Não querendo complicar o caso, o marujo atirou ao mar a moedinha excedente, retirou a terça parte para si e voltou tranqüilo para o seu leito.

No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio encontrou um punhado de catis na

caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos três marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez a divisão não foi exata. Sobrava uma moeda, que o almoxarife guardou como paga do seu trabalho e de sua habilidade. É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia do dinheiro. Pergunta-se, afinal: Quantas eram as moedas? Quanto recebeu cada um dos marujos? “

(O Homem que Calculava, de Malba Tahan, editora Record )

Solução apresentada por Malba Tahan:

O 1° marinheiro dividiu-as em três partes iguais; jogou um catil ao mar e levou um terço de 240, - dividindo 241 por 3 dá sobra 1 - isto é, 80 moedas, deixando 160. O 2° marinheiro encontrou, portanto, 160; jogou uma moeda no mar e dividiu as restantes (159) em três partes. Retirou uma terça parte (53) e deixou, de resto, 106. O 3° marinheiro encontrou, na caixa, 106 moedas, dividiu esse resto em três partes iguais, deitando ao mar a moeda que sobrava. Retirou uma terça parte de 105, isto é, 35 moedas, deixando um resto de 70.

O almoxarife encontrou 70 moedas; retirou uma e dividiu as 69 restantes em três partes, cabendo, dessa forma, um acréscimo de 23 moedas a cada um dos marujos. A divisão foi, portanto, a seguinte:

1° marujo (80 + 23) = 103; 2° marujo (53 + 23) = 76; 3° marujo (35 + 23) = 58; Almoxarife = 1

Atiradas ao mar = 3. Total = 241 moedas.

Mas como foi que o calculista chegou a esse resultado?

Malba Tahan, ao final do livro, nos comentários sobre os problemas, diz que para essa questão usou a

fórmula M = 81k – 2, onde M representa o número de moedas da caixa e k é um parâmetro natural não nulo, ou seja, que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, .... No livro, com o intuito de deixar o problema com uma única solução possível, foi dada a informação de que o número de moedas deveria estar entre 200 e 300.

Nesse caso, basta substituirmos k por 3 para obtermos as 241 moedas da solução.

Investigando sobre a expressão proposta pelo ilustre matemático, que não é uma questão muito óbvia, nos deparamos com um excelente exercício de álgebra.